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Un problème variationnel avec contraintes de degrés: lien avec les surfaces minimales immergées dans $\mathbb{R}^3$, bordées par deux cercles concentriques dans des plans parallèles

Site: 
Date: 
12/01/2015 - 14:00 - 15:00
Salle: 
8029
Orateur: 
RODIAC Rémy
Résumé: 

On cherche à trouver des points critiques de l'énergie de Dirichlet parmi les applications $u:A \rightarrow \mathbb{C}$ qui vérifient $|u|=1$ sur $\partial A$ où $A=\Omega \setminus \omega=\{z \in \mathbb{C} ; \rho < |z| < 1\}$ est un anneau de $\mathbb{R}^2$. On impose de plus les degrés topologiques de $u$ sur les bords de l'anneau : $deg(u,\partial \Omega)=p$ et $deg(u,\partial \omega)=q$.

On peut voir que sous certaines conditions ce problème est équivalent à trouver des surfaces minimales dans $\mathbb{R}^3$ bordées par deux cercles dans des plans parallèles. En degré $1$, le théorème de Shiffman affirme qu'une telle surface est nécessairement une portion de Caténoide. En degré $2$ ou plus on peut montrer l'existence d'autres surfaces minimales ayant de telles propriétés et obtenues par bifurcation à partir du Caténoide.

Ceci est un travail en collaboration avec Laurent Hauswirth.