Université Paris-Est Université Paris-Est - Marne-la-Vallée Université Paris-Est - Créteil Val-de-Marne Centre National de la Recherche Scientifique

Propriétés géométriques et ergodiques des ensembles attractifs pour les endomorphismes holomorphes de $P^k(\mathbb{C})$

Type: 
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Date: 
11/12/2014 - 14:00
Salle: 
Amphithéâtre Monge
Orateur: 
DAURAT Sandrine
Directeur(s): 
DUJARDIN Romain
Résumé: 

Dans cette thèse, nous étudions la dynamique d’un endomorphisme holomorphe $f$ de l’espace projectif complexe au voisinage d’un attracteur, c’est-à-dire près d’un ensemble $\mathcal A$ fermé qui piège les orbites dans une région $U$, c’est à dire qu’il existe un ouvert $U$ contenant strictement $\mathcal A$ tel que $f(U)$ soit relativement compact dans $U$ et $\mathcal A:\bigcap_{n\in\mathbb N}f^n(U)$. Les ensembles attractifs jouent un rôle fondamental en dynamique, en ce qu’ils déterminent le futur de tous les points dans un ouvert de l’espace des phases, et qu’ils persistent lorsque nous perturbons le système.

Nous commençons par étudier la structure topologique d’un tel ensemble attractif. En dimension $1$, tous les ensembles attractifs sont algébriques. En dimension supérieure, il est facile d’obtenir des ensembles attractifs algébriques. Des travaux de M. Jonsson et B. Weickert, J.-E. Fornæss et N. Sibony, et, de F. Rong ont cependant montré qu’il existait des systèmes possédant des ensembles attractifs dont la structure topologique était non-triviale et supportant une dynamique de nature expansive. T.C. Dinh a montré qu’un ensemble attractif, dont la géométrie d’une région piège est contrôlée, supportait un courant tissé.

Nous introduisons un cadre conceptuellement simple (les attracteurs de petit degré topologique) permettant d’obtenir des nombreux ensembles attractifs non algébriques. Nous prouvons qu’en ajoutant une condition de dimension sur l’attracteur, ces ensembles supportent un courant positif fermé de bidegré $(1,1)$ dont le quasi-potentiel est borné (ce qui répond à une question de T.C. Dinh). En particulier ces attracteurs sont épais au sens de la théorie du pluripotentiel. En outre, nous exhibons des familles d’endomorphismes où la condition de petit degré topologique est génériquement satisfaite.

Nous nous attachons ensuite à la description de la dynamique dans le bassin d’attraction d’un ensemble attractif $\mathcal A$ . Pour cela, nous nous appuierons sur des travaux de J. Diller, R. Dujardin et V. Guedj portant sur la dynamique des applications rationnelles de surfaces de “petit” degré topologique, travaux eux-même basés sur ceux de E. Bedford, M. Lyubich et J. Smillie. Nous établissons la laminarité du courant de Green $T$ pour une grande famille d’endomorphismes. Nous construisons aussi des mesures faiblement hyperboliques et de type selle qui représentent l’équidistribution des points périodiques selles inclus dans $\mathcal A$ , ainsi que la distribution des images de presque tout point du bassin d’attraction au sens de la mesure trace de $T$.