In this talk we present new relations between a minimal topological dynamical system and its enveloping semigroup. By using the Host-Kra-Maass cube structure we show that a $d$-step nilsystem has a $d$-step nilpotent enveloping semigroup.

Dans cet exposé, je présenterais le problème du transport optimal, et quelques propriétés de ses solutions. Dans une deuxième partie, je présenterais quelques applications en analyse, probabilités et géométrie.

In the last 30 years Malliavin calculus became the main instrument in the study of the regularity of probability laws: this is an infinite dimensional differential calculus which permits to built integration by parts formulas. Once we have such a formula the regularity of the law follows using Fourier analysis or various alternative arguments. But if one deals with solutions of stochastic equations with coefficients which are not sufficiently regular then this functional is not in the domain of the differential operators from Malliavin calculus and so this method does not apply. Recently, initiated by N. Fournier, an alternative approach appeared: instead of using one "perfect" integration by parts formula one constructs a sequence of integration by parts formulas based on a sequence of functionals which approximates the basic functional. The approximation error tends to zero and the weights in the integration by parts formulas blow up. If one is able to find a good equilibrium between these two quantities then one obtains regularity properties. It turns out that this procedure fits in the classical framework of the real interpolation method. In my talk I will explain this procedure and, based on it, give a general criterion of regularity for probability laws.

La régularité Hölderienne des processus de Lévy n’a été obtenue que récemment, par S. Jaffard (1999). Cet article a mis en évidence le caractère multifractal de cette classe de processus, et a ainsi identifié précisément la forme du spectre des trajectoires :
$$
d_X(h)=\begin{cases}\beta h& \text{si } h\in[0,1/\beta]\\ -\infty& \text{sinon}\end{cases}
$$
où $\beta$ correspond à l’exposant de Blumenthal-Getoor du processus de Lévy $X$.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au raffinement de ce résultat à l’aide de l’analyse $2$-microlocale. Ce cadre d’étude fournit un outil d’analyse de la régularité, la frontière $2$-microlocale, qui permet de donner un aperçu plus précis des propriétés trajectorielles, notamment par rapport aux exposants de Hölder ponctuel et local généralement utilisés dans la littérature. Nous verrons donc en quoi la combinaison de la frontière $2$-microlocale et de l’analyse multifractale permet de généraliser le spectre des processus de Lévy, et ainsi de mettre en évidence et d’étudier des comportements qui ne sont pas directement captés par ce dernier.

Dans une deuxième partie, nous détaillerons les implications de ce résultat dans le contexte de l’étude des propriétés trajectorielles de processus fractionnaires de Lévy (comprenant notamment le linear fractional stable motion).

We study completion of $S =$ the Sierpinski gasket minus $I =$ the unit interval = the one of the segment of outer triangle of the SG. In the Euclidean distance, the completion is just the SG itself. But if we consider an intrinsic metric on $S/I$, we have different space. In fact, if we consider the Brownian motion on $S/I$, it is "equivalent" to a random walk on a tree and we will get the ternary Cantor set as the Martin boundary. This fact is closely related to the study of a trace of the Brownian motion on the SG to the unit interval.